こんにちは，ハヤシライスBLOGです！今回は直流RC回路を一階線形(非同次)微分方程式の解法を使って解いていきます！
直流RC回路
図1のようなRC回路に，時刻0[s]で直流電源をつないだ場合の応答を考えます！直流RC回路の回路方程式は，一階線形(非同次)微分方程式と呼ばれる形になり，一般的な微分方程式の解法により解くことができます(^^)/
図1 直流RC回路
なお，以下の記事では直流RL回路を微分方程式の解法により解く手順についても説明しております！是非参考にしてみてください(^^)/
一階線形(非同次)微分方程式とは
一階線形(非同次)微分方程式とは，以下の図2の形で表される微分方程式のことです！q(x)≠0の場合を非同次方程式，q(x)=0の場合を同次方程式と呼びます(^^)/ 直流RC回路の方程式は，x=t，y(x)=q(t)，p(x)=1/RC，q(x)=V/Rと考えれば，一階線形(非同次)微分方程式になっていますので，一般的な線形微分方程式の解法を使って計算できます(^^)/
図2 一階線形(非同次)微分方程式とは
解法のポイント
ポイントは，
「非同次微分方程式の一般解＝①同次方程式の一般解＋②非同次方程式の特殊解」
になることです(^^)/ 要するに，①のV=0とした場合の一般解(任意定数を含んだ解)と，②の元々の回路方程式を満たす何か1つの解が分かれば，ほとんど計算終了ということです！
図3 解法のポイント
計算手順
一階線形(非同次)微分方程式の解法による直流RC回路の計算手順は以下の通りです！全部で4つのステップからなっています！ 1つずつ順番に解説していきます(^^)/
図4 計算手順
Step1：同次方程式の一般解を求めよう！
まず，回路方程式のV=0とした同次方程式の一般解を求めていきます！同次方程式が変数分離系の形になっているので，左辺を電荷qの関数，右辺を時間tの関数に分けて積分することで，以下のように簡単に同次方程式の一般解を計算できます(^^)/
また，一般解と聞くと何か難しそうな感じがしますが，要するに解の中に任意定数を含んだものが一般解と考えてもらえればいいと思います！c2=10の場合でも，c2=1の場合でも，どちらもこの同次方程式の解であるように，解の形が□*e-(1/(RC)*t)になっていれば，この同次方程式を満たす解は無数にあって，ただ一つの解に限定できないので一般解というわけですね！
図5 同次方程式一般解の求め方
Step2：非同次方程式の特殊解を求めよう！
続いて，非同次方程式の特殊解を求めます！特殊解というのは，少なくともその方程式の解にはなっているが，その方程式を満たす一般的な解の形にはなっていない，そんな解が特殊解です！つまり，何か一つでもある方程式を満たす解が見つかればそれが特殊解になります(^^)/
ではどうやって特殊解を求めましょうか？何でもいいので何か一つと言われても，実際に求めようとすると困りますよね？そんな時は，定常状態，つまり，スイッチがONになってから十分に時間が経った場合を考えてください！すると，後程ご説明しますが，コンデンサは十分時間が経った場合，電荷の移動はなくなります（＝コンデンサに流れこむ電流は0になります）から，i=dq/dt=0とみなせますので(※)，簡単に特殊解q2(t)=CVと求めることができます(^^)/
※）十分時間が経った後を考えれば，いつもコンデンサに流れ込む電流i=dq/dt=0となるわけではありません。ここでは，直流電源をつないだ場合を考えているので問題ありませんが，交流の電源をつないだ場合は，電流の方向が＋と－で行ったり来たりするので，いつまで経ってもコンデンサに流れこむ電流は0にはならず，i=dq/dt=0とみなすことはできません！
図6 非同次方程式特殊解の求め方
念のため，q2(t)=CVが本当に非同次方程式の解になっているかは，元の式に代入して確認するようにしましょう！ 以下の通り，ちゃんと解になっていますね(^^)/
図7 q2(t)=CVが非同次方程式特殊解になっているかの確認
Step3：非同次方程式の一般解を求めよう！
Step1で同次方程式の一般解q1(t)が求まり，Step2で非同次方程式の特殊解q2(t)が求まったので，非同次方程式の一般解は，これらを足して以下のように求まります！
図8 回路方程式の一般解
Step4：回路の初期条件から任意定数を求めよう！
最後に，今回求められている解は，あくまで回路の初期条件「t=0の時のコンデンサ電荷が0」を満たす解です！そのため，Step3で求めた一般解のうち，この条件を満たす解を求める必要があります！
つまり，時刻0[s]の時の電荷が0になるような任意定数を求めればよいので，以下のように簡単に求めることができます(^^)/ これで，最終的な解が求まりましたね！
図9 最終的な解
以上が微分方程式を使った解き方になります！なお，以下の記事ではラプラス変換を使った直流RC回路の解き方についても解説しておりますので，是非参考にしてみてください(^^)/
直流RC回路の特徴
図10に，直流RC回路におけるコンデンサの電荷qとコンデンサ電圧vcを示します！スイッチをONにした瞬間は電荷q(t)は0なので，vc(t)=q(t)/Cより，コンデンサ電圧vcも0となります(^^)/
スイッチをONにしてからは，コンデンサ電圧vcが電源電圧Vと等しくなるまで，コンデンサに電荷が充電されます(^^)/
図10 直流RC回路の電荷とコンデンサ電圧
続いて，電流iのグラフを見てみましょう！ 電流iは，i(t)=dq(t)/dtより，電荷の式を時間微分すれば求めることができます！ その結果が，図11になります！
スイッチをONにした瞬間は，コンデンサの電荷と電圧は0のままなので，コンデンサは一時的に短絡状態とみなせます！したがって，回路には抵抗Rしかありませんので，流れる電流はI=V/Rとなります(^^)/
十分時間が経ち，定常状態になると，コンデンサの電圧が電源電圧と同じ大きさになり，抵抗両端にかかる電圧が等しくなり，回路に電流は流れなくなります(^^)/
図11 直流RC回路の電流
コンデンサの性質
上記で説明したように，直流RC回路では定常状態でコンデンサに電流は流れません。言い換えれば，コンデンサは直流の電流を流さない性質があります！これについて，コンデンサの周波数特性から考えてみます！
コンデンサのインピーダンス|Z|は|Z|=1/(ωC)の形で求まります。ここで，ω=0，つまり直流の成分に対して考えると，|Z|=1/0≒∞となり，一切電流を流さない性質であることが分かります(^^)/ これが，直流RC回路で定常状態になるとコンデンサに電流が流れない理由になります(^^)/
なお，コンデンサには物凄い高い周波数の交流成分に対しては，非常に電流を通しやすい性質もありますので，ここで覚えておきましょう(^^)/
図12 コンデンサの周波数特性
時定数 ＝ 過渡現象の応答速度の指標
図10を見ると明らかなように，スイッチをONにした後の電荷q(t)は，いきなり定常値のCVになるのではなく，定常値に向けて徐々に変化していきます。この現象のことを過渡現象と呼び，電荷が定常値に向けて徐々に変化している状態を過渡状態と呼びます！ そして，この過渡現象の応答速度の指標となるのが，時定数τです(^^)/
時定数τとは，定常値のおよそ63%に到達するまでの時間のことで，RC回路ではτ=RCで求まります！
実際に，t=RCを代入すると，q(RC)=CV*(1-1/e)となり，1/eがおよそ0.37なので，q(RC)≒0.63*CVになります(^^)/ この時定数が短ければ，過渡現象はすぐに終わって，即座に定常値になります！ 一方で，時定数が長ければ，過渡状態は長くなり，なかなか定常値になりません！
下のグラフは，Cの値を変えずに，Rだけを変えて時定数τを変えた例になります！Rが大きいほど，時定数τが長くなり，定常値に向けてゆっくりと変化しているのが分かりますね！
図13 時定数τ=RCを変化させた例 （Rのみを変更）
コンデンサに蓄積されるエネルギー
コンデンサに蓄積されるエネルギー=1/2*C*V^2とよく言いますが，この式はどこから出てくるのでしょうか？最後にこの式の出所を確認して，終わりましょう(^^)/
コンデンサに蓄積されるエネルギーは，ずばり瞬時電力p(t)(=コンデンサ電圧vc(t)×コンデンサを流れる電流i(t))を，スイッチを入れてから十分時間が経過する間で積分した値になります！つまり，瞬時電力のグラフの面積がコンデンサに蓄積されるエネルギーになります！実際に計算すると，電源電圧Vを使って，1/2*C*V^2という式になっているのが確認できますね！
図14 コンデンサに蓄積されるエネルギー
今回の記事はここまでです！この記事が，少しでも皆さんの役に立っていれば嬉しいです(^^)/
