こんにちは，ハヤシライスBLOGです！今回は不完全微分、一次進み遅れ（位相進み遅れ補償）のブロックについて，そのステップ応答やボード線図について分かりやすく解説します(^^)/ これらのブロックの特性を忘れてしまった時などに，参考にしてもらえると嬉しいです(^^)/
不完全微分
図1が不完全微分の伝達関数になります！
図1 不完全微分の伝達関数
ここで，図2に不完全微分の特徴を示します！不完全微分は，数式を変形すると，図2のように，①入力信号を素通りさせた出力から，②一次遅れにより低周波数成分を抽出した信号を，引き算したものになることが分かります！この性質は，不完全微分の性質を理解する上で非常に重要になりますので，しっかりと押さえておきましょう(^^)/
図2 不完全微分の特徴
不完全微分の単位ステップ応答
実際に，不完全微分に単位ステップ信号u(t)（つまり，大きさ1の階段状の信号）を入力した場合の応答を見てみましょう！不完全微分の単位ステップ応答の計算方法は以下の通りです！一度周波数領域，つまりラプラス変換により出力Y(s)を計算し，最後に逆ラプラス変換で出力y(t)を計算します！
図3 不完全微分の単位ステップ応答の計算方法
不完全微分の単位ステップ応答を図4に示します！図3の計算結果の通り，不完全微分の単位ステップ応答は，y(t)=exp(-t/T)になりますので，ステップ信号が入力された時に大きな値をとって，それ以降は時定数Tで減衰していきます！
図4の波形からも，不完全微分は①入力信号を素通りさせた出力から，②一次遅れにより低周波数成分を抽出した信号を引き算したものになっていることが確認できますね(^^)/
図4 不完全微分の単位ステップ応答
不完全微分のボード線図
次に不完全微分のボード線図を求めてみましょう！不完全微分のボード線図は，図5のように求めることができます！ゲイン特性の縦軸は20log10|G(jω)|でdB表示になっていることに注意しましょう(^^)/
なお，ボード線図の縦軸が単に周波数伝達関数の大きさ|G(jω)|ではなく，わざわざlogの対数を取る理由やメリットについては，以下の記事で詳しく解説していますので，是非参考にしてもらえると嬉しいです(^^)/
図5 不完全微分のボード線図の計算方法
図6が，不完全微分のボード線図になります！同図のワンポイントに書いたように，不完全微分は，微分ブロックと一次遅れブロックの積と考えることができるので，不完全微分のゲイン特性と位相特性は，これら二つのブロックの特性の足し合わせで決まることが分かります！
なお，図6の不完全微分のゲイン特性を見ると，ω=1/Tよりも低い周波数成分に対しては，ゲインが小さく出力が大きく減衰するのに対し，ω=1/Tよりも高い周波数成分についてはゲインが0で，ほぼそのまま通過することが分かります！これは，不完全微分がハイパスフィルタとして機能することを意味しており，図2と同じ結果になっています(^^)/
図6 不完全微分のボード線図
（ちょっと休憩）理系大学生が学生時代に必ずやっておくべき5つのこと！！
大学生の皆さん！勉強お疲れ様です(>_<) 以下の記事は，私が理系の大学生の皆さんに向けて，社会人になる前にやっておいた方がよいことを5つに厳選して書いた記事です！これらは，私が社会人になって，「学生時代にこれをやっておいて本当に良かった！」と心から思うことや，「学生時代に何でこれをやっておかなかったんだろうか・・・」と超絶後悔していることなどを厳選しています(^^)/勉強の休憩がてらに，是非見てみてください！
一次進み遅れ要素（位相進み遅れ補償）
図7が一次進み遅れ要素の伝達関数になります！
図7 一次進み遅れ要素の伝達関数
一次進み遅れ要素（位相進み遅れ補償）の単位ステップ応答
実際に，一次進み遅れ要素に単位ステップ信号u(t)を入力した場合の応答を見てみましょう！一次進み遅れ要素の単位ステップ応答の計算方法は以下の通りです！式の見通しを良くするために，以下のようにβ（＝T1/T2）を定義します！実はこのβが1より大きいか小さいかで，単位ステップ応答の挙動が変わります(^^)/
図8 一次進み遅れ要素の単位ステップ応答の計算方法
図9にβ>1の場合の一次進み遅れ要素の単位ステップ応答を示し，図10にβ<1の場合の応答を示します！
上述した通り，一次進み遅れ要素の単位ステップ応答は，βの大きさによってその波形の様子が変わります！β>1の場合，ステップ信号を入力した時に入力よりも出力の方が大きくなるのに対し，β<1の場合は，出力の方が小さくなります！
図9 一次進み遅れ要素の単位ステップ応答（β＞１の場合）
図10 一次進み遅れ要素の単位ステップ応答（β＜１の場合）
一次進み遅れ要素（位相進み遅れ補償）のボード線図
次に一次進み遅れ要素のボード線図を求めてみましょう！一次進み遅れ要素のボード線図は，図11のように求めることができます！ボード線図については，T1とT2の大小関係（＝βが1より大きいか小さいかと同じ）によって，ゲイン特性や位相特性の概形が変わります！
図11 一次進み遅れ要素のボード線図の計算方法
図12に，T1>T2（前述のβでは，β>1）の場合のボード線図を示し，図13にT1>T2(β<1)の場合のボード線図を示します！いずれの条件においても，一次進み遅れ要素のゲイン特性・位相特性は，一次進み要素と一次遅れ要素の和によって表すことができ，進み要素と遅れ要素の折点周波数（ω＝1/T）の大小関係によって，その概形が変わります！進み要素の折点周波数ω＝1/T1の方が低い場合（図12）は，ゲインは大きく，位相は進むのに対し，遅れ要素の折点周波数ω＝1/T2の方が低い場合（図13）は，ゲインは小さく，位相は遅れます(^^)/
このように，一次進み遅れ要素の特性は，T1やT2の大小関係によって大きく変化することはしっかりと押さえておきましょう(^^)/
図12 一次進み遅れ要素のボード線図 （T1>T2の場合 ＝ β>1の場合）
図13 一次進み遅れ要素のボード線図 （T1<T2の場合 ＝ β<1の場合）
今回の記事はここまでです！以下の記事では，色々な伝達関数の単位ステップ応答やボード線図についてまとめております！是非参考にしてみてください(^^)/
